Question

4．在平面直角坐標系xoy中直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=2．
（1）寫出直線l的一般方程及圓C的標準方程；
（2）設P（-1，1），直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|-|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t，可得直線l的一般方程，根據(jù)ρ²=x²+y²，可得圓C的標準方程．
（2）判斷P點位置，設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），利用參數(shù)方程的幾何意義，求出t_A+t_B，t_A•t_B，即可求|PA|-|PB|的值．

解答 解：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，可得x-1=2（y-2），即直線l的一般方程x-2y+3=0．
由ρ²=x²+y²，可得x²+y²=4．
即圓C的標準方程；x²+y²=4．
（1）已知P（-1，1），易知P在圓內，設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
可得：t_A+t_B=$-\frac{8}{5}$，${t}_{A}•{t}_{B}=\frac{1}{5}＞0$．
∴（1+t_A）（1+t_B）=$-\frac{2}{5}＜0$．
兩點之間的距離公式：
則|AP|=$\sqrt{5}$（1+t_A）．
則|BP|=$\sqrt{5}$（1+t_B）．
那么：|PA|-|PB|=$\sqrt{5}$|1+t_A）-（1+t_B）|=$\sqrt{5}$|t_A+t_B+2|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決長度問題．利用直角坐標與極坐標間的關系．