Question

7．已知函數(shù)f（x）=x（x+a）-lnx，其中a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到$f'（\frac{1}{2}）≥0$或f′（1）≤0，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，$f'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}（x＞0）$（2分）
所以f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增（4分）
于是f（x）有極小值f（1）=0，無(wú)極大值（6分）
（2）易知$f'（x）=2x+a-\frac{1}{x}$在區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$內(nèi)單調(diào)遞增，
所以由題意可得$f'（x）=2x+a-\frac{1}{x}=0$在$（\frac{1}{2}，1）$內(nèi)無(wú)解（8分）
即$f'（\frac{1}{2}）≥0$或f′（1）≤0（10分）
解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．