Question

1．已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+a=0，a∈R．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線m：x-y-1=0與圓C交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)且|PQ|=2$\sqrt{2}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平分圓C的面積的直線l分別與x，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)使△AOB的面積為S的直線l恰有兩條，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線m：x-y-1=0與圓C交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)且|PQ|=2$\sqrt{2}$，可得圓的半徑為2，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（3）表示出面積S，利用方程根的討論方法，即可求S的取值范圍．

解答 解：（1）圓C的方程：x²+y²-2x-4y+a=0可化為（x-1）²+（y-2）²=5-a，
∴5-a＞0，
∴a＜5；
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵直線m：x-y-1=0與圓C交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)且|PQ|=2$\sqrt{2}$，
∴圓的半徑為2，
∴5-a=4，
∴a=1；
（3）由題意，直線經(jīng)過(guò)（1，2），設(shè)方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，∴a=$\frac{b-2}$（b＞2），
∴S=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{^{2}}{2b-4}$，
∴b²-2bS+4S=0，
∵使△AOB的面積為S的直線l恰有兩條，
∴△=4S²-16S＞0，S＞2且4-4S+4S＞0，
∴S＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．