Question

6．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，a_n=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）記S_n=a₁+a₂+…+a_n，求滿足S_n＜1000最大的正整數(shù)n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足：c_n=（n+1）（a_n-1），求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和M_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列{a_n-1}是以為1首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
（2）由S_n=a₁+a₂+…+a_n，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得S_n=2ⁿ+n-1，即可得到2ⁿ+n-1＜1000，求出n=9，
（3）c_n=（n+1）（a_n-1）=（n+1）2^n-1，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)考慮利用錯(cuò)位相減求和

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}是以為1首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得a_n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=n+1+2¹+2²+…+2^n-1=n+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ+n-1，
∵S_n＜1000，
∴2ⁿ+n-1＜1000，
∵2¹⁰+10-1=1033，2⁹+10-1=521，
∴S_n＜1000最大的正整數(shù)n=9，
（3）c_n=（n+1）（a_n-1）=（n+1）2^n-1，
∴M_n=2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+（n+1）2^n-1，
∴2M_n=2×2¹+3×2²+4×2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
∴-M_n=2+2¹+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴M_n=n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式，通項(xiàng)公式的應(yīng)用及錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，具有一定的綜合性