Question

（本小題滿分14分）已知,函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線的斜率；

（Ⅱ）討論的單調性；

（Ⅲ）是否存在實數，使得方程有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）0； （Ⅱ）； （Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，函數.對函數求導，并求出即為曲線在點處的切線的斜率.

（Ⅱ）由，對進行討論，即可得到導函數的值的正負.由此得到函數的單調性.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，當當上單調遞減，方程不可能有兩個不等的實數根；所以當時，根據函數的單調性，原題意等價于等價于函數的極小值.由此可解得結論.

試題解析：（1）當時，

所以曲線y=（x）在點處的切線的斜率為0. 3分

（2） 4分

當上單調遞減； 6分

當.

.

8分

（3）存在，使得方程有兩個不等的實數根. 9分

理由如下：

由（1）可知當上單調遞減，方程不可能有兩個不等的實數根； 11分

由（2）得，使得方程有兩個不等的實數根，等價于函數的極小值，即，解得

所以的取值范圍是 14分

考點：1.導數的幾何意義.2.函數的單調性.3.函數的極值最值.