Question

7．設函數(shù)f（x）=x²+x+1．
（I）解不等式：|f（x+1）-f（x）|-|f（x）-f（x-1）|≤1；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{3}$≤$\frac{f（-x）}{f（x）}$≤3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得|x+1|-|x|≤$\frac{1}{2}$，去絕對值，解得即可，
（Ⅱ）由$\frac{f（-x）}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$=1-$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，構造g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，分類討論，利用基本不等式即可求出g（x）的范圍，問題得以證明

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+x+1，
∴|f（x+1）-f（x）|-|f（x）-f（x-1）|=|2x+2|-|2x|，
∴|2x+2|-|2x|≤1，
∴|x+1|-|x|≤$\frac{1}{2}$，
當x≤-1時，即-x-1+x≤$\frac{1}{2}$，即-1≤$\frac{1}{2}$恒成立，
當x≥0時，即x+1-x≤$\frac{1}{2}$，即1≤$\frac{1}{2}$不成立，
當-1＜x＜0，即x+1+x≤$\frac{1}{2}$，解得-1＜x≤-$\frac{1}{4}$，
綜上所述不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{4}$]
（2）∵f（x）=x²+x+1，
∴$\frac{f（-x）}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$=1-$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，
設g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，
當x＞0時，g（x）=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+1}$=$\frac{2}{3}$，當且僅當x=1時取等號，
當x＜0時，g（x）=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$=$\frac{-2}{-x+（-\frac{1}{x}）-1}$≥$\frac{-2}{2\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}-1}$=-2，當且僅當x=-1時取等號，
當x=0時，g（x）=0，
∴-2≤g（x）≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-g（x）≤3，
∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{f（-x）}{f（x）}$≤3．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法和基本不等式的應用，考查了不等式的證明和分類討論的思想，屬于中檔題