Question

10．曲線$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的點的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)曲線$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）上的一點P（3cosφ，2sinφ），直線$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：2x+4y-5=0．則點P到直線的距離d=$\frac{|10sin（φ-θ）-5|}{2\sqrt{5}}$，求出取值范圍即可判斷出結(jié)論．

解答 解：設(shè)曲線$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）上的一點P（3cosφ，2sinφ），
直線$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：2x+4y-5=0．
則點P到直線的距離d=$\frac{|6cosφ+8sinφ-5|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{|10sin（φ-θ）-5|}{2\sqrt{5}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{3\sqrt{5}}{2}]$，
因此曲線$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的點的個數(shù)為1個．
故選：A．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．