Question

16．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;，\;b＞0}）$的左、右焦點，P為雙曲線上的一點且滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{1}{2}{c^2}$，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． $[{\sqrt{3}\;，\;+∞}）$
• C． $[{\sqrt{2}\;，\;+∞}）$
• D． $[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}\;，\;+∞}）$

Answer 1

分析 設(shè)P點的橫坐標為x，根據(jù)$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{1}{2}{c^2}$，P在雙曲線左支上一點（|x|≥a），利用雙曲線的第二定義，以及余弦定理，可得x關(guān)于e的表達式，進而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．

解答 解：設(shè)P點的橫坐標為x，P在雙曲線上，（|x|≥a），|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{1}{2}{c^2}$，即：|PF₁||PF₂|cos＜$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＞=-$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
：|PF₁||PF₂|$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|{\overrightarrow{P{F}_{2}}|}^{2}-4{c}^{2}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=-$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
可得：|PF₁|²+|PF₂|²-4c²=-c²，
可得2a²+2e²x²=3c²，2+2e²（$\frac{x}{a}$）²=3e²，$（\frac{x}{a}）^{2}≥1$，
可得2+2e²≤3e²，
∴e$≥\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運用，屬于中檔題．