Question

13．設a、b∈R，若函數$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，則f（1）的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 函數$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，即方程x²+bx+a=0在區(qū)間（1，2）上兩個不相等的實根，
⇒$\left\{\begin{array}{l}{1＜-\frac{2}＜2}\\{^{2}-4a＞0}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-4＜b＜-2}\\{^{2}＞4a}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$
畫出數對（a，b）所表示的區(qū)域，求出目標函數z=f（1）═a+b+1的范圍即可．

解答 解：函數$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，
即方程x²+bx+a=0在區(qū)間（1，2）上兩個不相等的實根，
⇒$\left\{\begin{array}{l}{1＜-\frac{2}＜2}\\{^{2}-4a＞0}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-4＜b＜-2}\\{^{2}＞4a}\\{1+a+b＞0}\\{4+2b+a＞0}\end{array}\right.$，
如圖畫出數對（a，b）所表示的區(qū)域，目標函數z=f（1）═a+b+1
∴z的最小值為z=a+b+1過點（1，-2）時，z的最大值為z=a+b+1過點（4，-4）時
∴f（1）的取值范圍為（0，1）
故答案為：（0，1）

點評 本題是函數零點的考查，涉及到規(guī)劃問題的結合，屬于難題．