Question

3．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₃x．記f（x）在[-10，10]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m，方程f（x）=-1在[-10，10]上的實(shí)數(shù)根和為n，則有（　　）

• A． m=20，n=10
• B． m=10，n=20
• C． m=21，n=10
• D． m=11，n=21

Answer 1

分析 利用函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的周期，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₃x．可得x=1，f（1）=0，
f（x）在[-10，10]上圖象如圖：
可得m=21，方程f（x）=-1在[-10，10]上的實(shí)數(shù)根分別關(guān)于x=-7；-3，1，5，9對(duì)稱，實(shí)數(shù)根的和為n，
n=-14-6+2+10+18=10．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的圖象與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．