Question

18．設(shè)a∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$；
（1）求a的值，使得f（x）為奇函數(shù)；
（2）若$f（x）＜\frac{a+2}{2}$對(duì)任意x∈R成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R上為奇函數(shù)，可得f（0）=0，解方程可得a的值，檢驗(yàn)即可；
（2）由題意可得即為$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a+2}{2}$恒成立，等價(jià)為$\frac{a-1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a}{2}$，即有2（a-1）＜a（2^x+1），討論a=0，a＞0，a＜0，由參數(shù)分離，求得右邊的范圍，運(yùn)用恒成立思想即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由f（x）的定義域?yàn)镽，
且f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）=0，
即有$\frac{1+a}{2}$=0，解得a=-1．
則f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
則a=-1滿足題意；
（2）$f（x）＜\frac{a+2}{2}$對(duì)任意x∈R成立，
即為$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a+2}{2}$恒成立，
等價(jià)為$\frac{a-1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a}{2}$，
即有2（a-1）＜a（2^x+1），
當(dāng)a=0時(shí)，-1＜0恒成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{2（a-1）}{a}$＜2^x+1，
由2^x+1＞1，可得$\frac{2（a-1）}{a}$≤1，
解得0＜a≤2；
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{2（a-1）}{a}$＞2^x+1不恒成立．
綜上可得，a的取值范圍是[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求參數(shù)的值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類討論和參數(shù)分離的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．