Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a=-1時(shí)，不等式lnf（x）＞1成立；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，得到f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最小值，從而證出結(jié)論即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，
$f（x）=|x-2|+|x+1|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x+1，x≤-1}\\{3，-1＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}}\right.$，
故f（x）的最小值為3，
則lnf（x）的最小值為ln3＞lne=1，
所以lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由絕對(duì)值不等式可得：
f（x）=|x-2|+|x-a|≥|（x-2）-（x-a）|=|a-2|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，
可得|a-2|≥a，解得a≤1，
故a的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求分段函數(shù)的最值問(wèn)題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)，是一道中檔題．