Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos（2x$-\frac{π}{3}$）-2sin（x$+\frac{π}{4}$）cos（x$+\frac{π}{4}$）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式將f（x）化為一角一函數(shù)形式得出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），求出函數(shù)的最小正周期即可；
（2）先求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，再求出值域．

解答 解：（1）因為f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）
=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{π}{2}$-x-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）因為x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得值域為[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變形以及三角函數(shù)的性質(zhì)運用；關(guān)鍵是正確化簡三角函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用簡單三角函數(shù)性質(zhì)解答．