Question

3．某印刷廠為了研究印刷單冊(cè)書籍的成本y（單位：元）與印刷冊(cè)數(shù)x（單位：千冊(cè)）之間的關(guān)系，在印制某種書籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，相關(guān)數(shù)據(jù)見下表．

印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）	2	3	4	5	8
單冊(cè)成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，方程甲：$\widehat{y}$^（1）=$\frac{4}{x}$+1.1，方程乙：$\widehat{y}$^（2）=$\frac{6.4}{{x}^{2}}$+1.6．
（Ⅰ）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)．
（i）完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）；

印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）		2	3	4	5	8
單冊(cè)成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計(jì)值$\widehat{{y}_{i}}$（1）		2.4	2.1		1.6
	殘值$\widehat{{e}_{i}}$（1）		0	-0.1		0.1
模型乙	估計(jì)值$\widehat{{y}_{i}}$（2）		2.3	2	1.9
	殘值$\widehat{{e}_{i}}$（2）		0.1	0	0

（ii）分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q₁和Q₂，并通過比較Q₁，Q₂的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好．
（Ⅱ）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進(jìn)行二次印刷．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，新需求量為10千冊(cè)，若印刷廠以每?jī)?cè)5元的價(jià)格將書籍出售給訂貨商，試估計(jì)印刷廠二次印刷獲得的利潤(rùn)．（按（Ⅰ）中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊(cè)書的成本）

Answer 1

分析 （1）（i）計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值，填表即可；
（ii）計(jì)算模型甲、模型乙的殘差平方和，比較即可得出結(jié)論；
（2）計(jì)算二次印刷時(shí)的成本，求出對(duì)應(yīng)利潤(rùn)值即可．

解答 解：（1）（i）經(jīng)計(jì)算，可得下表：（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）；

印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）		2	3	4	5	8
單冊(cè)成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計(jì)值$\widehat{{y}_{i}}$（1）	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	殘值$\widehat{{e}_{i}}$（1）	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估計(jì)值$\widehat{{y}_{i}}$（2）	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	殘值$\widehat{{e}_{i}}$（2）	0	0.1	0	0	0

（ii）計(jì)算模型甲的殘差平方和為Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的殘差平方和為Q₂=0.1²=0.01，
∴Q₁＞Q₂，模型乙的擬合效果更好；
（2）若二次印刷8千冊(cè)，則印刷廠獲利為（5-1.7）×8000=26400（元），
若二次印刷10千冊(cè)，由（1）可知，單冊(cè)書印刷成本為$\frac{6.4}{{10}^{2}}$+1.6=1.664（元），
故二次印刷10千冊(cè)時(shí)，印刷廠利潤(rùn)為Y=（5-1.664）×10×1000=33360（元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了殘差平方和模擬模型擬合效果的應(yīng)用問題，也考查了成本與利潤(rùn)的應(yīng)用問題，是綜合題．