Question

20．在△ABC中，A、B、C是三角形的三內(nèi)角，a、b、c是三內(nèi)角對應的三邊，已知b²，a²，c²成等差數(shù)列．
（1）求cosA的最小值；
（2）若a=2，當A最大時，△ABC面積的最大值？

Answer 1

分析 （1）由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得${a^2}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{2}$，利用余弦定理，基本不等式可求cosA最小值為$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，且b²+c²=2a²=8≥2bc，可求bc≤4，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵b²，a²，c²成等差數(shù)列，
∴2a²=b²+c²，
∴${a^2}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{2}$，
又∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{4bc}$≥$\frac{2bc}{4bc}$=$\frac{1}{2}$（當且僅當b=c時等號成立），即cosA最小值為$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，且b²+c²=2a²=8≥2bc，
∴bc≤4，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
（其他方法合理即可）

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．