Question

15．函數(shù)f（x）=e^x-alnx（其中a∈R，e為自然常數(shù)）
①?a∈R，使得直線y=ex為函數(shù)f（x）的一條切線；
②對?a＜0，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）無零點；
③對?a＜0，函數(shù)f（x）總存在零點；
則上述結(jié)論正確的是①②③．（寫出所有正確的結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點（m，f（m）），可得切線的斜率，由已知切線的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判斷①；
求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，運用指數(shù)函數(shù)的值域和不等式的性質(zhì)可得導(dǎo)數(shù)大于0，即可判斷②；
由f（x）=0，可得e^x=alnx，分別畫出y=e^x和y=alnx，（a＜0）的圖象，可得它們存在交點，即可判斷③．

解答 解：對于①，函數(shù)f（x）=e^x-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，
設(shè)切點為（m，f（m）），則e=e^m-$\frac{a}{m}$，em=e^m-alnm，
可取m=1，a=0，則?a∈R，使得直線y=ex為函數(shù)f（x）的一條切線，故①正確；
對于②，?a＜0，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，由x＞0，可得f′（x）＞0，
則導(dǎo)函數(shù)無零點，故②正確；
對于③，對?a＜0，函數(shù)f（x）=e^x-alnx，
由f（x）=0，可得e^x=alnx，
分別畫出y=e^x和y=alnx，（a＜0）的圖象，可得它們存在交點，
故f（x）總存在零點，故③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，以及函數(shù)的零點問題，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力和判斷能力，屬于中檔題．