Question

5．已知函數(shù)f（x）=（x²-x）e^x
（1）求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（2）若f（x）-ax+e≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若方程f（x）=m（m∈R）有兩個正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，求證：|x₁-x₂|＜$\frac{m}{e}$+m+1．

Answer 1

分析 （1）由f′（0）=-1，f（0）=0可得切線斜率、切點(diǎn)，即可求出曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程．
（2）①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；
②當(dāng)x＞0時(shí)，問題等價(jià)于a≤（x-1）e^x+$\frac{e}{x}$恒成立．③當(dāng)x＜0時(shí)，問題等價(jià)于a≥（x-1）e^x+$\frac{e}{x}$恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出最值；
（3）依（2）得a=e時(shí)，f（x）_^＞ex-e，再證設(shè)f（x）＞_^-x_{^{，（x＞0）}}設(shè)y=m，分別與y=-x，y=e（x-1）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₃，x₄，x₃=-m，x₄=$\frac{m}{e}$+1，則x₃＜x₁＜x₂＜x₄，∴|x₁-x₂|＜|x₃-x₄|=$\frac{m}{e}$+m+1，（證畢）

解答 解：（1）f′（x）=（x²+x-1）e^x，f′（0）=-1，f（0）=0，
故曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為x+y=0．
（2）①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；
②當(dāng)x＞0時(shí)，問題等價(jià)于a≤（x-1）e^x+$\frac{e}{x}$恒成立．
設(shè)g（x）=（x-1）e^x+$\frac{e}{x}$，則g′（x）=xe^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$，
∵g′（x）=xe^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（1）=0
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
∴g（x）在（0，+∞）的最小值為g（1）=e；
∴a≤e
③當(dāng)x＜0時(shí)，問題等價(jià)于a≥（x-1）e^x+$\frac{e}{x}$恒成立．
設(shè)h（x）=（x-1）e^x+$\frac{e}{x}$，則h′（x）=xe^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$＜0，
∵h(yuǎn)（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且x→-∞時(shí)，h（x）→0．
∴a≥0，
綜上所述：0≤a≤e．
（3）依（2）得a=e時(shí)，（x²-x）e^x_＞ex-e，
∵曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為x+y=0
設(shè)φ（x）=（x²-x）e^x₊x_{^{，（x＞0）}}
φ′（x）=（x²+x-1）ex+1，φ″（x）═（x²+3x）e^x，
令φ″（x）=0，解得x=-3，或x=0．
∴φ′（x）在（-∞，-3），（0，+∞）遞增，在（-3，0）遞減．
φ′（0）=0，∴x＞0時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）遞增，而φ（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，φ（x）＞0，
設(shè)y=m，分別與y=-x，y=e（x-1）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₃，x₄，
x₃=-m，x₄=$\frac{m}{e}$+1．
則x₃＜x₁＜x₂＜x₄，∴|x₁-x₂|＜|x₃-x₄|=$\frac{m}{e}$+m+1，（證畢）

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了恒成立的基本處理方法，函數(shù)零點(diǎn)問題，屬于難題．