Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，$f（x）=x-\frac{3}{x}-2$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的所有零點．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性推出f（0）=0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用分段函數(shù)，通過x的范圍，分別求解方程的根即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），且f（0）=0．
設x＜0，則-x＞0，所以$f（-x）=-x+\frac{3}{x}-2=-f（x）$，所以$f（x）=x-\frac{3}{x}+2$．…（4分）
所以函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-\frac{3}{x}+2，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-\frac{3}{x}-2，x＞0}\end{array}}\right.$…（6分）
（Ⅱ）當x＜0時，由$x-\frac{3}{x}+2=0$，解得x=1（舍去）或x=-3；…（9分）
當x＞0時，由$x-\frac{3}{x}-2=0$，解得x=-1（舍去）或x=3．
所以函數(shù)f（x）的零點為-3，0，3．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的零點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．