Question

5．已知{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，則{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

Answer 1

分析 令n=1，可得a₁=2，結(jié)合{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，可得{a_n}的通項(xiàng)公式，繼而可得數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得：{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=2，
又∵{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，
∴a_n=3n-1，
∵（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
即3b_n+1=b_n．
即數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
故答案為：$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，難度中檔．