Question

2．若非零向量$\overrightarrow{a}$，b滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量的夾角的余弦公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，b滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即有3$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow$²=0，
即為3+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-4=0，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的夾角公式和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．