Question

10．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)度為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN中點(diǎn)的軌跡與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面所圍成的較小的幾何體的體積等于$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接ND，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，則|PD|的長(zhǎng)度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分，求出球的半徑，代入球的體積公式計(jì)算．

解答 解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接ND，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得，
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的$\frac{1}{8}$．
其體積V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力和思維能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)P點(diǎn)滿足的條件，判斷幾何體為球體的$\frac{1}{8}$，是中檔題．