Question

18．在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，設(shè)h是邊AB上的高，則h的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把題設(shè)中關(guān)于邊的等式轉(zhuǎn)換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得cosC，進(jìn)而求得C．根據(jù)余弦定理求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而利用三角形面積公式表示出三角形的面積，利用a和b的不等式關(guān)系求得三角形面積的最大值，進(jìn)而得解．

解答 解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，
∴由題意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
可解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得：cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{2ab}$，
∴ab=a²+b²-1≥2ab-1，即ab≤1，等號(hào)當(dāng)a=b時(shí)成立，
∴可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又∵h(yuǎn)是邊AB上的高，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ch=$\frac{1}{2}$h≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴解得：h≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則h的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值，屬于基本知識(shí)的考查．