Question

19．有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．
（1）共有幾種放法？
（2）恰有1個(gè)空盒，有幾種放法？
（3）恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得4個(gè)不同的球，每個(gè)小球有4種放法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，恰有1個(gè)空盒，即將4個(gè)小球放入3個(gè)小盒中，且三個(gè)盒子都不空；分2步進(jìn)行分析：先從4個(gè)小球中取2個(gè)放在一起，看成一個(gè)整體，再將其與另外2個(gè)小球看作三堆，并分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子里，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、1個(gè)盒子放3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，②2個(gè)盒子中各放2個(gè)小球，每種情況下先分組，放進(jìn)其中2個(gè)盒子中，由分步計(jì)數(shù)原理可得每種情況下的放法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解�。�1）根據(jù)題意，4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，
每個(gè)小球有4種放法，則4個(gè)小球共有4×4×4×4=4⁴=256種放法；
（2）根據(jù)題意，恰有1個(gè)空盒，即將4個(gè)小球放入3個(gè)小盒中，且三個(gè)盒子都不空；
先從4個(gè)小球中取2個(gè)放在一起，有${C}_{4}^{2}$=6種不同的取法，
再把取出的兩個(gè)小球與另外2個(gè)小球看作三堆，并分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子里，有${A}_{4}^{3}$=24種不同的放法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的放法共有6×24=144種．
（3）根據(jù)題意，恰有2個(gè)盒子不放球，也就是把4個(gè)不同的小球只放入2個(gè)盒子中，
有兩類放法；第一類，1個(gè)盒子放3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，
先把小球分成2組，有C₄³=4種分組方法，
再放到2個(gè)盒中有A₄²=12種放法，
則此時(shí)有4×12=48種放法；
第二類，2個(gè)盒子中各放2個(gè)小球，
先把小球分成2組，有$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=3種分組方法，
再放到2個(gè)盒中有A₄²=12種放法，
則此時(shí)有3×12=36種放法；
故恰有2個(gè)盒子不放球的方法共有48+36=84種．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意分析題意，進(jìn)行分類討論或分步分析．