Question

19．求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得關(guān)于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0分別滿足下列條件：
（1）有兩個(gè)不同的，且都大于1的實(shí)數(shù)根；
（2）至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）方程有兩個(gè)不同的，且都大于1的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于新方程（y+1）²+2（a-1）y+4a+5=0  有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)根；（2）至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根的對(duì)立面為：無(wú)實(shí)數(shù)根或者有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，分別求出方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)與方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值，從而求得至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)a的范圍．

解答 解：（1）令y=x-1，即x=y+1，那么原方程變?yōu)椋海▂+1）²+2（a-1）y+4a+5=0  ①
原方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于新的關(guān)于y的方程有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)根．
方程①可簡(jiǎn)化為：y²+2ay+4a+5=0，
令：h（y）=y²+2ay+4a+5，
也就是需要滿足h（0）＞0，對(duì)稱軸在右側(cè)，且△＞0，即：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+5＞0}\\{-a＞0}\\{△＞0}\end{array}\right.$    解得：-$\frac{5}{4}$＜a＜-1．
（2）至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根的對(duì)立面為：無(wú)實(shí)數(shù)根或者有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根
當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，即：△＜0，
[2（a-1）]²-4（2a+6）＜0，解得：-1＜a＜5
當(dāng)方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，等價(jià)于①式兩根之積大于0，且兩根之和小于0，即：
2a+6＞0且-2（a-1）＜0，解得：a＞1
所以，至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次函數(shù)方程與根的分布關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．