Question

2．淮南二中體育教研組為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對本校200名高二學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

平均每天鍛煉的時間（分鐘）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
總人數	20	36	44	50	40	10

將學生日均課外體育運動時間在[40，60）上的學生評價為“課外體育達標”．
（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面2×2列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？

	課外體育不達標	課外體育達標	合計
男
女		15	110
合計

（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該校高三學生中，抽取3名學生，記被抽取的3名學生中的：“課外體育達標”學生人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的數學期望和方差．
參考公式：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數據：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據上述表格中的統計數據填寫2×2列聯表，計算觀測值K²即可得出結論；
（2）由數據可得抽到“課外體育達標”學生的頻率，將頻率視為概率，得出X～B（3，$\frac{1}{4}$），計算X的數學期望與方差即可．

解答 解：（1）根據上述表格中的統計數據填寫2×2列聯表如下，

	課外體育不達標	課外體育達標	合計
男	55	35	90
女	95	15	110
合計	150	50	200

計算觀測值K²=$\frac{200{×（55×15-35×95）}^{2}}{150×50×90×110}$=$\frac{5000}{297}$≈16.835＞6.635，
所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下能判斷“課外體育達標”與性別有關；
（2）由表中數據可得，抽到“課外體育達標”學生的頻率為0.25，將頻率視為概率，
則X～B（3，$\frac{1}{4}$），
所以X的數學期望是E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
方差是D（X）=3×$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{16}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與n次重復獨立性事件的概率、數學期望與方差的計算問題，是應用題．