Question

20．已知△ABC周長為12，A（-2，0），B（2，0），
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在線段AB上，頂點(diǎn)C的軌跡和（-4，0），（4，0）形成曲線L，點(diǎn)P是L上任意一點(diǎn)．當(dāng)|$\overrightarrow{MP}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在（4，0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出頂點(diǎn)C的軌跡是以A（-2，0），B（2，0）為焦點(diǎn)，以2a=8為長軸的橢圓，（不含x軸上的頂點(diǎn)），由此能求出頂點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，故-4≤x≤4．推導(dǎo)出|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．當(dāng)|$\overrightarrow{MP}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵△ABC周長為12，A（-2，0），B（2，0），
∴|AB|=4，|AC|+|BC|=12-4=8，
∴頂點(diǎn)C的軌跡是以A（-2，0），B（2，0）為焦點(diǎn)，以2a=8為長軸的橢圓，（不含x軸上的頂點(diǎn)），
∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．（y≠0）….4分
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，故-4≤x≤4．
∵$\overrightarrow{MP}$=（x-m，y），∴|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12×（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）
=$\frac{1}{4}$x²-2mx+m²+12=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．
∵當(dāng)|$\overrightarrow{MP}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，
即當(dāng)x=4時(shí)，|$\overrightarrow{MP}$|²取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1…..11分
又點(diǎn)M在線段AB上，即-2≤m≤2．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．