Question

8．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時函數(shù)f（x）單調遞減，給出下列四個命題中正確的是①②④．
①f（2）=0；
②x=-4為函數(shù)f（x）的一條對稱軸；
③函數(shù)f（x）在[8，10]上單調遞增；
④若方程f（x）=m在區(qū)間[-6，-2]上的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-8．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=-2可得f（-2）=f（2）=0，從而有f（x+4）=f（x），故得函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，再結合y=f（x）單調遞減、奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，最后利用從圖中可以得出正確的結論．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
可得f（-2）=f（2），
在f（x+4）=f（x）+f（2）中，令x=-2得
f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
又當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，結合函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，如圖所示．
從圖中可以得出：
②x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調遞減；
④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-8．
故答案為：①②④．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)奇偶性的判斷，考查學生的綜合分析與轉化能力，屬于難題．