Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）-2cos²x+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）將f（x）的圖象沿x軸向左平移m（m＞0）個單位，所得函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對稱，求m的最小值及m最小時g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的周期公式即可計算得解．
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律可求g（x）=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$），由于題意，可求$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，結(jié)合m＞0，可求m的最小值，進而結(jié)合x的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其值域．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵g（x）=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$），圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對稱，
∴$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴m=kπ+$\frac{5π}{24}$，k∈Z，
∴m_min=$\frac{5π}{24}$，此時，g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
又∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴g（x）∈[$\sqrt{2}$，2]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期公式，三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．