Question

19．春節(jié)來(lái)臨，有農(nóng)民工兄弟A、B、C、D四人各自通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)訂購(gòu)回家過(guò)年的火車票，若訂票成功即可獲得火車票，即他們獲得火車票與否互不影響．若A、B、C、D獲得火車票的概率分別是${p_1}，\frac{1}{2}，{p_3}，\frac{1}{4}$，其中p₁＞p₃，又${p_1}，\frac{1}{2}，2{p_3}$成等比數(shù)列，且A、C兩人恰好有一人獲得火車票的概率是$\frac{1}{2}$．
（1）求p₁，p₃的值；
（2）若C、D是一家人且兩人都獲得火車票才一起回家，否則兩人都不回家．設(shè)X表示A、B、C、D能夠回家過(guò)年的人數(shù)，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析 （1）由A、C兩人恰好有一人獲得火車票的概率是$\frac{1}{2}$，列出方程組，能求出p₁，p₃的值．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵A、C兩人恰好有一人獲得火車票的概率是$\frac{1}{2}$，
∴$（1-{p_1}）{p_3}+{p_1}（1-{p_3}）=\frac{1}{2}$…（1分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{2{p}_{1}{p}_{3}=\frac{1}{4}}\\{（1-{p}_{1}）{p}_{3}+{p}_{1}（1-{p}_{3}）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，…（3分）
由p₁＞p₃，解得${p_1}=\frac{1}{2}，{p_3}=\frac{1}{4}$．…（5分）
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，
$P（X=0）={（1-\frac{1}{2}）^2}（1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}）=\frac{15}{64}$…（6分）
$P（X=1）=C_2^1×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}）=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}$…（7分）
$P（X=2）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}）+（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$…（8分）
$P（X=3）=C_2^1×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{2}{64}=\frac{1}{32}$…（9分）
$P（X=4）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$…（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{64}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{64}$

…（11分）
$EX=0×\frac{15}{64}+1×\frac{15}{32}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{32}+4×\frac{1}{64}=\frac{9}{8}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型及應(yīng)用，考查概率的計(jì)算，考查計(jì)數(shù)原理，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，是中檔題．