Question

4．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個非零向量，則下列命題為真命題的是
①若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角60°；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，則存在非零實數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$；
④若存在非零實數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$；
⑤若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線且同向，則|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|．
其中的正確的結(jié)論是③⑤（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 舉例說明①④錯誤；由已知求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角說明②錯誤；由向量模的關(guān)系推證③⑤正確．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|錯誤，當$|\overrightarrow{a}|≠|(zhì)\overrightarrow|$時不成立；
②若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$可構(gòu)成等邊三角形，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角30°，故②錯誤；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線反向，存在非零實數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，故③正確；
④若存在非零實數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$錯誤，當$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線同向時不成立；
⑤若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線且同向，則|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos0=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，故⑤正確．
故答案為：③⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了向量共線的條件，考查平面向量的數(shù)量積運算，是中檔題．