Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），且離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知O為坐標原點，過橢圓C的右頂點A作直線l與圓x²+y²=$\frac{8}{5}$相切并交橢圓C于另一點B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得到c，結合離心率求得a，再由隱含條件得b，則橢圓方程可求；
（2）求出A的坐標，設出直線l的方程，利用直線和圓相切求得k，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：（1）由題意，c=2，∵離心率為$\frac{1}{2}$，可得a=2c=4．
∴b²=a²-c²=12．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）由（1）知，橢圓的右頂點為A（4，0），設直線l的方程為y=k（x-4），
∵直線l與圓x²+y²=$\frac{8}{5}$相切，∴$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{\frac{8}{5}}$，即9k²=1，得k=$±\frac{1}{3}$．
聯(lián)立y=$\frac{1}{3}（x-4）$與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，得31x²-32x-368=0．
設B（x₀，y₀），則由根與系數(shù)的關系得：$4{x}_{0}=-\frac{368}{31}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$4{x}_{0}=-\frac{368}{31}$．
同理，當直線為y=-$\frac{1}{3}（x-4）$時，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$4{x}_{0}=-\frac{368}{31}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$-\frac{368}{31}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓位置關系的應用，是中檔題．