Question

4．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1（a＞\sqrt{2}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點M，N是橢圓C上的點，且直線OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動點P（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，是否存在常數(shù)λ，使得P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=λ$上的點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1（a＞\sqrt{2}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出a=2，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，由點M，N在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，由直線OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，由此能求出存在常數(shù)λ=5，使得P點在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=5$上．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1（a＞\sqrt{2}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得${b^2}={a^2}-{c^2}=\frac{a^2}{2}$，
又b²=2，解得a=2，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，
得x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，（6分）
又點M，N在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4$，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4$，
設(shè)k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由題意知：
k_OM•k_ON=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴x₁x₂+2y₁y₂=0，（8分）
∴$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=\frac{x_0^2+2y_0^2}{4}=\frac{{{{（{x_1}+2{x_2}）}^2}+2{{（{y_1}+2{y_2}）}^2}}}{4}$
=$\frac{{（x_1^2+2y_1^2）+4（x_2^2+2y_2^2）+4（{x_1}•{x_2}+2{y_1}•{y_2}）}}{4}=\frac{20}{4}=5$，（11分）
因此，存在常數(shù)λ=5，使得P點在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=5$上．（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足點在橢圓上的常數(shù)是否存在的判斷與求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．