Question

15．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，$AB=2，BC=2\sqrt{2}，E$為BC的中點，連接AE，BD，交點H，PH⊥平面ABCD，M為PD的中點．
（1）求證：平面MAE⊥平面PBD；
（2）設PE=1，求二面角M-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BH⊥AE，PH⊥AE，從而AE⊥平面BPD，由此能證明平面MAE⊥平面PBD．
（2）由HB，HE，HP兩兩垂直，分別以HB，HE，HP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-AE-C的余弦值．

解答 證明：（1）在矩形ABCD中，∵△ABE～△DAB，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠BAE+∠ABD=$\frac{π}{2}$，∴BH⊥AE，
∵PH⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PH⊥AE，又∵BH∩PH=H，
BH，PH?平面BPD，又∵AE?平面MAE，
∴平面MAE⊥平面PBD．
解：（2）由（1）知，HB，HE，HP兩兩垂直，
分別以HB，HE，HP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，
則A（0，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），C（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），
D（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0，0），M（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
$\overrightarrow{ME}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
設MAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{6}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{n}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{6}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{6}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，4），
平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角M-AE-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角M-AE-C的余弦值為$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．