Question

函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則在上所有零點之和為 ．

 

Answer 1

8

【解析】

試題分析：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴，又∵函數(shù)，∴∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)的零點都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的．∴函數(shù)在[-6，6]上所有的零點的和為0，∴函數(shù)在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數(shù)在（6，+∞）上所有的零點之和．由0＜x≤2時，，即∴函數(shù)在（0，2]上的值域為，當且僅當x=2時，=1；

又∵當x＞2時，

∴函數(shù)在（2，4]上的值域為，當且僅當x=４時，=；

函數(shù)在（４，６]上的值域為，當且僅當x=６時，=；

函數(shù)在（６，８]上的值域為，當且僅當x=８時，=；

函數(shù)在（８，10]上的值域為，當且僅當x=10時，=；

故在（8，10]上恒成立，

注意到的零點就是函數(shù)的圖象與曲線交點的橫坐標,

所以在（8，10]上無零點;

同理在（10，12]上無零點;

依此類推，函數(shù)在（8，+∞）無零點;

綜上函數(shù)在[-6，+∞）上的所有零點之和為8;故應填入:8.

如下圖:

考點：１．奇偶性與單調性的綜合；２．函數(shù)的零點．