Question

7．四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，各側(cè)棱長(zhǎng)與底面的邊長(zhǎng)均相等，M為SA的中點(diǎn)，則直線BM與SC所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作DA的平行線為x軸，過(guò)O作AB的平行線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BE與SA所成角的余弦值．

解答 解：過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于點(diǎn)O，
以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作DA的平行線為x軸，過(guò)O作AB的平行線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：

設(shè)正四棱錐S-ABCD側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都為2，
則A（1，-1，0），OB=$\sqrt{2}$，OS=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，B（1，1，0），
S（0，0，$\sqrt{2}$），C（-1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{SC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），
設(shè)BE與SA所成角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{SC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴BM與SC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．