Question

2．已知0＜a＜b＜1，求證：
（Ⅰ）a+b＜1+ab；
（Ⅱ）$\sqrt{a}-\sqrt＜\sqrt{a+b}-\sqrt{b+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用作差法，轉化證明證明即可推出a+b＜1+ab；
（Ⅱ）利用分析法通過移項兩邊平方推出不等式成立的充分條件即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵（a+b）-（1+ab）
=a+b-1-ab
=（a-1）+b（1-a）
=（a-1）（1-b），
0＜a＜b＜1，
∴a-1＜0，1-b＞0．
∴（a-1）（1-b）＜0．
∴a+b＜1+ab．
（Ⅱ）要證：$\sqrt{a}-\sqrt＜\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}$，
只需證：$\sqrt{a}+\sqrt{b+1}＜\sqrt{a+b}+\sqrt$，
只需證：${（\sqrt{a}+\sqrt{b+1}）^2}＜{（\sqrt{a+1}+\sqrt）^2}$，
即$a+b+1+2\sqrt{ab+a}＜a+b+1+2\sqrt{ab+b}$，
從而只需證：$2\sqrt{ab+a}＜2\sqrt{ab+b}$，
即$\sqrt{ab+a}＜\sqrt{ab+b}$，
只需證ab+a＜ab+b，
即a＜b，顯然成立，
∴原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查轉化思想以及計算能力，分析法與作差法的應用．