Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．x∈（0，+∞）．f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=1．即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）g（x）=xf（x）+mx=1+lnx+mx，在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3．可得1+lnx+mx≤-3，m≤$\frac{-4-lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{-4-lnx}{x}$，x∈（0，e]．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．x∈（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1．
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；1＜x時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）；遞減區(qū)間為[1，+∞）．
（2）g（x）=xf（x）+mx=1+lnx+mx，在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3．
∴1+lnx+mx≤-3，∴m≤$\frac{-4-lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{-4-lnx}{x}$，x∈（0，e]．
g′（x）=$\frac{lnx+3}{{x}^{2}}$．
可得：函數(shù)g（x）在$（0，\frac{1}{{e}^{3}}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{{e}^{3}}，e]$上單調(diào)遞增．
∴$x=\frac{1}{{e}^{3}}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，$g（\frac{1}{{e}^{3}}）$=-e³．
∴m≤-e³．
取m=-e³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．