Question

13．中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠?qū)�圓B的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：
①對(duì)于任意一個(gè)圓B，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；
②函數(shù)f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
③正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①③
• B． ①③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 ①過(guò)圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分；
②作函數(shù)f（x）的大致圖象，即可判斷命題的正誤；
③將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心上，
即可得出正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，
函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱圖形．

解答 解：對(duì)于①，過(guò)圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，
故對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)，①正確；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為定義域R上的偶函數(shù)，其大致圖象如圖1，
∴f（x）不可能為圓的“優(yōu)美函數(shù)”，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心上，
則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”，
∴有無(wú)數(shù)個(gè)圓成立，③正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，
但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱圖形，
如圖2所示，④錯(cuò)誤；
正確的命題序號(hào)是①③．

故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了函數(shù)性質(zhì)以及新定義的應(yīng)用，是綜合題．