Question

6．求P（x，y）是直角坐標(biāo)平面xOy上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=8的距離等于它到點(diǎn)M（2，0）的距離．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程，并指出該軌跡為何種圓錐曲線；
（2）求曲線C₁關(guān)于直線x=8的對(duì)稱曲線C₂的方程及曲線C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P到直線x=8的距離等于它到點(diǎn)M的距離，列方程求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程，
根據(jù)方程知該軌跡為拋物線；
（2）畫出曲線C₁的圖形，根據(jù)圖象對(duì)稱求出曲線C₂的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）P（x，y）到直線x=8的距離等于它到點(diǎn)M（2，0）的距離，
∴|x-8|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得y²=-12x+60，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程為y²=-12（x-5），
∴該軌跡為頂點(diǎn)在（5，0），對(duì)稱軸為x軸，開(kāi)口向左的拋物線；
（2）如圖所示，
曲線C₁的方程為y²=-12（x-5），
焦點(diǎn)為F₁（2，0），
曲線C₁關(guān)于直線x=8的對(duì)稱曲線C₂的方程為
y²=12（x-11），
且曲線C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₂（14，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了對(duì)稱問(wèn)題與數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，是中檔題．