Question

15．在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊CD和BC的中點，若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{AF，}$其中λ，μ∈R，則λ+μ=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 推導出$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，從而$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$=（$λ+\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{AD}$+（$\frac{1}{2}λ+μ$）$\overrightarrow{AB}$，由此能求出λ+μ．

解答 解：∵在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊CD和BC的中點，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{AF，}$其中λ，μ∈R，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$=λ（$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）+μ（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$）
=（$λ+\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{AD}$+（$\frac{1}{2}λ+μ$）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ+μ=1}\end{array}\right.$，∴$\frac{3}{2}$（λ+μ）=2，
解得λ+μ=$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查代數(shù)式求和，考查平面向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．