Question

20．f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，（x²+l）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（2）=0．則不等式f（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 根據(jù)積函數(shù)的求導(dǎo)法則可設(shè)F（x）=（x²+1）f（x），依題意可知可判斷函數(shù)F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=f（-2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負性．則f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：令F（x）=（x²+1）f（x），
則F′（x）=（x²+1）f′（x）+2xf（x），
∵當(dāng)x＞0時，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＜0，
∴當(dāng)x＞0時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，
∴f（-2）=0，
∴當(dāng)x＞2時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）＜0，
∴f（x）＞0；
又F（-x）=（x²+1）f（-x）=-（x²+1）f（x）=-F（x），
∴F（x）=（x²+1）f（x）為奇函數(shù)，又x＞0時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x＜0時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵f（-2）=0，
∴當(dāng)-2＜x＜0時，F(xiàn)（x）=（x²+1）f（x）＜0，從而f（x）＜0．
綜上可得：當(dāng)-2＜x＜0或x＞2時f（x）＜0．
∴不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時考查了奇偶函數(shù)的圖象特征，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬難題．