Question

1．某企業(yè)為解決困難職工的住房問題，決定分批建設(shè)保障性住房供給困難職工，首批計劃用100萬元購買一塊土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房一幢，樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費用提高20元，已知建筑第1層樓房時，每平方米的建筑費用為920元．為了使該幢樓房每平方米的平均費用最低（費用包括建筑費用和購地費用），應(yīng)把樓房建成幾層？此時平均費用為每平方米多少萬元？

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出第1層費用，由等差數(shù)列的定義，判斷出每層費用是以92為首項、2為公差的等差數(shù)列，由題意和等差數(shù)列的前n項公式求出建筑x層樓時總費用，再表示出建筑樓層為x層時每平方米的平均費用，利用基本不等式求出平均費用最小值、對應(yīng)的x的值．

解答 解：設(shè)建筑樓層為x層，該樓房每平方米的平均費用為f（x）萬元，
由題意知：建筑第1層樓房建筑費用為：920×1000=920000（元）=92（萬元），
樓房每升高一層，整層樓建筑費用提高：20×1000=20000（元）=2（萬元），
即每層樓建筑費用是以92為首項、2為公差的等差數(shù)列，
所以由題意知，建筑x層樓時，該樓房總費用為：
$92x+\frac{x（x-1）}{2}×2+100={x^2}+91x+100$（x∈N*），
所以$f（x）=\frac{{{x^2}+91x+100}}{1000x}=\frac{x}{1000}+\frac{1}{10x}+\frac{91}{1000}$
$≥2\sqrt{\frac{x}{1000}•\frac{1}{10x}}+\frac{91}{1000}$=$\frac{2}{100}+\frac{91}{1000}=\frac{111}{1000}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$10x=\frac{1000}{x}$，即x=10時，等號成立．
答：為了使該幢樓房每平方米的平均綜合費用最低，應(yīng)把樓房建成10層，
此時平均費用為每平方米0.111萬元．

點評 本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的定義、前n項公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．