Question

4．已知圓E：x²-λx+y²-9=0上任意一點關于直線y=x-1的對稱點仍在圓上．
（1）求λ的值和圓E的標準方程；
（2）若圓E與y軸正半軸的交點為A，直線與圓E交于B，C兩點，且點H（3，0）是△ABC的垂心（垂心是三角形三條高線的交點），求直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意圓心（$\frac{λ}{2}$，0）在直線y=x-1上，由此能求出λ及圓E的標準方程．
（2）由題意設直線l的方程為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=10}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-9=0，由此利用韋達定理、向量的數量積能求出所求直線的方程．

解答 解：（1）∵圓E：x²-λx+y²-9=0上任意一點關于直線y=x-1的對稱點仍在圓上，
∴圓心（$\frac{λ}{2}$，0）在直線y=x-1上，
∴$\frac{λ}{2}$-1=0，解得λ=2，
∴圓E：x²-2x+y²-9=0的標準方程為（x-1）²+y²=10．
（2）由題意得A（0，3），H（3，0），k_AH=$\frac{3}{-3}$=-1，
∴直線l的斜率k=1，設直線l的方程為y=x+m，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=10}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-9=0，
∴x₁+x₂=1-m，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-9}{2}$，
又$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{AC}$=（${{x}_{1}}^{\;}$-3，y₁）•（x₂，y₂-3）=（x₁-3）x₂+y₁（y₂-3）
=（x₁-3）x₂+（x₁+m）（x₂+m-3）
=$2{x}_{1}{x}_{2}+（m-3）（{{x}_{1}+{x}_{2}）+m（m-3）=0}_{\;}^{\;}$，
代入，得m²+m-12=0，
解得m=-4或m=3，
當m=3時，直線y=x+3過A點，不合題意，
當m=-4時，直線y=x-4，滿足題意，
∴所求直線的方程為x-y-4=0．

點評 本題考查圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、韋達定理，向量數量積等知識點的合理運用．