Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，公差d＞0，
（Ⅰ）已知a₁=1，d=2，且$\frac{1}{a_1^2}$，$\frac{1}{a_4^2}$，$\frac{1}{a_m^2}$成等比數(shù)列，求正整數(shù)m的值；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意n∈N^*，$\frac{1}{a_n}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$都不成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)a₁=1，d=2，且$\frac{1}{a_1^2}$，$\frac{1}{a_4^2}$，$\frac{1}{a_m^2}$成等比數(shù)列，建立方程，即可求正整數(shù)m的值；
（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)n∈N^*，使$\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}，\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$成等差數(shù)列，證明d=0，與已知d＞0矛盾，故假設(shè)不成立，從而對(duì)任意n∈N^*，$\frac{1}{a_n}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$都不成等差數(shù)列．

解答 （Ⅰ）解：a₄=7，a_m=2m-1，∴$1•\frac{1}{{{{（2m-1）}^2}}}={（\frac{1}{7^2}）^2}$，∴2m-1=49，m=25，
（Ⅱ）證明：假設(shè)存在正整數(shù)n∈N^*，使$\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}，\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$成等差數(shù)列，
則$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$，即$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-d}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}+d}}=\frac{{2{a_{n+1}}}}{{a_{_{n+1}}^2-{d^2}}}$，
∴d=0，這與已知d＞0矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．