Question

19．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ．
（1）求圓心C的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（0，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）將圓C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心C的直角坐標(biāo)；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，求得關(guān)于t的一元二次方程，令A(yù)，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，根據(jù)韋達(dá)定理t₁+t₂=-（4+2$\sqrt{3}$）＜0，t₁•t₂=4＞0，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）∵ρ=8cosθ，
∴ρ²=8ρcosθ
圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=8x，
∴（x-4）²+y²=16，圓心C為（4，0）┅┅┅┅4分
（2）將直線l的參數(shù)方程直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，代入x²+y²-8x=0，
得（-$\frac{1}{2}$t）²+（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²-8（-$\frac{1}{2}$t）=0，即t²+（4+2$\sqrt{3}$）t+4=0，┅┅┅┅8分
令A(yù)，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-（4+2$\sqrt{3}$）＜0，t₁•t₂=4＞0，
所以|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4+2$\sqrt{3}$┅┅┅┅10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程與普通方程得轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．