Question

12．有一塊以點O為圓心，半徑為2百米的圓形草坪，草坪內距離O點$\sqrt{2}$百米的D點有一用于灌溉的水籠頭，現準備過點D修一條筆直小路交草坪圓周于A，B兩點，為了方便居民散步，同時修建小路OA，OB，其中小路的寬度忽略不計．
（1）若要使修建的小路的費用最省，試求小路的最短長度；
（2）若要在△ABO區(qū)域內（含邊界）規(guī)劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞，試求這塊圓形廣場的最大面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

分析 （1））要使小路的長度最短，只需AB最短即可．當OD⊥AB時，圓心距最長為OD，此時AB最短，利用圓的弦長公式即可求解．
（2）依題意，圓形廣場內切于△ABO時，這塊圓形廣場的最大面積．
設△ABO的內切圓半徑為r，則有$\frac{1}{2}（OB+OA+AB）×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$，
由弦長公式得AB=2$\sqrt{4-0unnsaj^{2}}$，⇒$oqjj2zb^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}（16-A{B}^{2}）}{4（AB+4）^{2}}=\frac{A{B}^{2}（4-AB）}{4（4+AB）}$．
令AB=x，則r²=f（x）=$\frac{{x}^{2}（4-x）}{4（4+x）}$，$f′（x）=\frac{-x（{x}^{2}+4x-16）}{2（x+4）^{2}}$；利用導數求解．

解答 解：（1）小路的長度l=OA+OB+AB=（400+AB）米，
要使小路的長度最短，只需AB最短即可．
當OD⊥AB時，圓心距d最長為OD，此時AB最短，
（AB）_min=2$\sqrt{{R}^{2}-O{D}^{2}}=100\sqrt{2}$×2=200$\sqrt{2}$米，
∴小路的最短長度為（4+2$\sqrt{2}$）（百米）．
（2）依題意，圓形廣場內切于△ABO時，這塊圓形廣場的最大面積．
設△ABO的內切圓半徑為r，
則有$\frac{1}{2}（OB+OA+AB）×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$，
由弦長公式得AB=2$\sqrt{4-iaaoxvk^{2}}$，⇒$80mbu2v^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}（16-A{B}^{2}）}{4（AB+4）^{2}}=\frac{A{B}^{2}（4-AB）}{4（4+AB）}$．
令AB=x，則r²=f（x）=$\frac{{x}^{2}（4-x）}{4（4+x）}$，$f′（x）=\frac{-x（{x}^{2}+4x-16）}{2（x+4）^{2}}$；
∵$0＜d≤\sqrt{2}$，∴x=AB=2$\sqrt{4-dtjay5q^{2}}$$∈[2\sqrt{2}，4]$．
∴$f′（x）=\frac{-x（{x}^{2}+4x-16）}{2（x+4）}＜0$，∴$f（x）_{max}=f（2\sqrt{2}）$=6-4$\sqrt{2}$．
這塊圓形廣場的最大面積s=πr²=（6-4$\sqrt{2}$）π（百米²）

點評 本題考查了圓的性質，解三角形、弦長公式，函數的最值，屬于中檔題．