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12.有一塊以點O為圓心,半徑為2百米的圓形草坪,草坪內距離O點$\sqrt{2}$百米的D點有一用于灌溉的水籠頭,現準備過點D修一條筆直小路交草坪圓周于A,B兩點,為了方便居民散步,同時修建小路OA,OB,其中小路的寬度忽略不計.
(1)若要使修建的小路的費用最省,試求小路的最短長度;
(2)若要在△ABO區(qū)域內(含邊界)規(guī)劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞,試求這塊圓形廣場的最大面積.(結果保留根號和π)

分析 (1))要使小路的長度最短,只需AB最短即可.當OD⊥AB時,圓心距最長為OD,此時AB最短,利用圓的弦長公式即可求解.
(2)依題意,圓形廣場內切于△ABO時,這塊圓形廣場的最大面積.
設△ABO的內切圓半徑為r,則有$\frac{1}{2}(OB+OA+AB)×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$,
由弦長公式得AB=2$\sqrt{4-0unnsaj^{2}}$,⇒$oqjj2zb^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}(16-A{B}^{2})}{4(AB+4)^{2}}=\frac{A{B}^{2}(4-AB)}{4(4+AB)}$.
令AB=x,則r2=f(x)=$\frac{{x}^{2}(4-x)}{4(4+x)}$,$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)^{2}}$;利用導數求解.

解答 解:(1)小路的長度l=OA+OB+AB=(400+AB)米,
要使小路的長度最短,只需AB最短即可.
當OD⊥AB時,圓心距d最長為OD,此時AB最短,
(AB)min=2$\sqrt{{R}^{2}-O{D}^{2}}=100\sqrt{2}$×2=200$\sqrt{2}$米,
∴小路的最短長度為(4+2$\sqrt{2}$)(百米).
(2)依題意,圓形廣場內切于△ABO時,這塊圓形廣場的最大面積.
設△ABO的內切圓半徑為r,
則有$\frac{1}{2}(OB+OA+AB)×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$,
由弦長公式得AB=2$\sqrt{4-iaaoxvk^{2}}$,⇒$80mbu2v^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}(16-A{B}^{2})}{4(AB+4)^{2}}=\frac{A{B}^{2}(4-AB)}{4(4+AB)}$.
令AB=x,則r2=f(x)=$\frac{{x}^{2}(4-x)}{4(4+x)}$,$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)^{2}}$;
∵$0<d≤\sqrt{2}$,∴x=AB=2$\sqrt{4-dtjay5q^{2}}$$∈[2\sqrt{2},4]$.
∴$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)}<0$,∴$f(x)_{max}=f(2\sqrt{2})$=6-4$\sqrt{2}$.
這塊圓形廣場的最大面積s=πr2=(6-4$\sqrt{2}$)π(百米2

點評 本題考查了圓的性質,解三角形、弦長公式,函數的最值,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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