Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-2x．
（1）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．
（2）求過曲線f（x）上的點(diǎn)A（1，-1）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，得到原函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，可得使關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的a的取值范圍；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處切線方程，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)得所求切線方程．

解答 解：（1）f（x）=x³-2x，則f′（x）=3x²-2，
由f′（x）=0，得x=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞$）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞$）；減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）．
∴f（x）_極大=f（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$；f（x）_極小=$f（\frac{\sqrt{6}}{3}）=-\frac{4\sqrt{6}}{9}$．
∴要使關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為（-$\frac{4\sqrt{6}}{9}，\frac{4\sqrt{6}}{9}$）；
（2）設(shè)切線為$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}）$，f′（x₀）=$3{{x}_{0}}^{2}-2$．
∴切線方程為$y-（{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}）=（3{{x}_{0}}^{2}-2）（x-{x}_{0}）$．
把A（1，-1）代入，得$2{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+1=0$，解得x₀=1或$-\frac{1}{2}$．
∴所求切線方程為x-y-2=0，5x+4y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是“在某點(diǎn)”與“過某點(diǎn)”的區(qū)別，是中檔題．