Question

3．銳角三角形ABC中，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，設(shè)AB=3，則AB邊上的高為2+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把角放在銳角三角形中，使一些運(yùn)算簡(jiǎn)單起來(lái)，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據(jù)分解后的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解方程組，做比得到結(jié)論，同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，換元解方程在直角三角形中，用定義求的結(jié)果

解答 解：銳角△ABC中，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，
∴sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{5}$…①
sinAcosB-cosAsinB=$\frac{1}{5}$…②，
∴sinAcosB=$\frac{2}{5}$，cosAsinB=$\frac{1}{5}$，
∴tanA=2tanB．
∵$\frac{π}{2}$＜A+B＜π，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，∴cos（A+B）=-$\frac{4}{5}$，tan（A+B）=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0，
解得tanB=$\frac{2±\sqrt{6}}{2}$，
∵B為銳角，
∴tanB=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，∴tanA=2tanB=2+$\sqrt{6}$．
設(shè)AB上的高為CD，則AB=AD+DB=$\frac{CD}{tanA}$+$\frac{CD}{tanB}$，由AB=3得CD=2+$\sqrt{6}$，
故AB邊上的高為2+$\sqrt{6}$．
故答案為：$2+\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 以銳角三角形為載體，應(yīng)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用兩角和與差的正弦公式，求解過(guò)程中應(yīng)用代數(shù)方法解題，構(gòu)造直角三角形用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題，這種問(wèn)題做起來(lái)有一定難度．