Question

8．設(shè)AB是雙曲線Γ的實軸，點C在Γ上，且∠CAB=$\frac{π}{4}$，若AB=4，BC=$\sqrt{26}$，則雙曲線的焦距是4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理得CB²=CA²+BA²-2CABAcos$\frac{π}{4}$，解得CA=5$\sqrt{2}$，過C作CM⊥x軸于M，可得C，點C坐標代入雙曲線方程得$\frac{9}{{2}^{2}}-\frac{25}{^{2}}=1$，解得b²，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$即可．，

解答 解：如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得CB²=CA²+BA²-2CABAcos$\frac{π}{4}$，解得CA=5$\sqrt{2}$，
過C作CM⊥x軸于M，CM=5$\sqrt{2}$×$cos\frac{π}{4}$=5，AM=5$\sqrt{2}$，
∴C（3，5），點C坐標代入雙曲線方程得$\frac{9}{{2}^{2}}-\frac{25}{^{2}}=1$，解得b²=20，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=2\sqrt{6}$，雙曲線的焦距是2c=4$\sqrt{6}$．
故答案為：4$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用平面幾何知識和圓錐曲線的定義是解此類題的有效方法，屬于中檔題．