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13.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.
(Ⅰ)分析f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x∈(1,+∞)時,1<x1lnx<x.

分析 (Ⅰ)求出{f^'}(x)=\frac{1-x}{x}(x>0),利用導(dǎo)函數(shù)的符號,判斷函數(shù)的單調(diào)性.
(Ⅱ)設(shè)F(x)=xlnx-x+1,x>1,利用導(dǎo)函數(shù)F′(x)=1+lnx-1=lnx,判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后最后證明原不等式成立;

解答 解:(Ⅰ)由f(x)=lnx-x+1,有{f^'}(x)=\frac{1-x}{x}(x>0),則f(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)遞減;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x∈(1,+∞)時,1<x1lnx<x,即為lnx<x-1<xlnx.
結(jié)合(Ⅰ)知,當(dāng)x>1時f′(x)<0恒成立,即f(x)在(1,+∞)遞減,
可得f(x)<f(1)=0,即有l(wèi)nx<x-1;
設(shè)F(x)=xlnx-x+1,x>1,F(xiàn)′(x)=1+lnx-1=lnx,
當(dāng)x>1時,F(xiàn)′(x)>0,可得F(x)遞增,即有F(x)>F(1)=0,
即有xlnx>x-1,則原不等式成立;

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊系列答案
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維修費(fèi)用y(萬元)2.23.85.56.57.0
若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求:
(1)線性回歸方程;
(2)根據(jù)回歸直線方程,估計(jì)使用年限為12年時,維修費(fèi)用是多少?
參考公式:\stackrel{∧}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}},\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x},\stackrel{∧}{y}=\stackrel{∧}x+\stackrel{∧}{a}

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